Arkadaşlar Merhaba

Ben Umut Çağlar fizik bölümü üçüncü sınıf öğrencisiyim. Benim bu gün sizlerle konuşmak isteğim konu Biz insanlığın doğayı anlama konusunda giriştiğimiz savaşta doğal sınırlara sahip olup olmadığımız konusu. Bu konu salında çok geniş ve pek çok disiplini bir arada ilgilendiren ve dolayısıyla pek çok farklı şekilde pek çok farklı başlık altına bölünebilecek bir konu. Ben ise bu konunun özelinde matematikçi Kurt Gödel in tamamlanamazlık teoremini (In-completeness Theorem) bu teoremin mantıksal çıkış noktalarını ve teoremin bizim dünyaya ve evrene bakış açımızı nasıl değiştirdiğini sizinle paylaşmak istiyorum

Bu koynu seçmekteki amacım aslında tamamen matematiksel bir teoremi size baştan sona yazıp ispatlamak değil, aslına bakarsanız bu teoremin Fizik ve diğer temel bilimler üzerine olan etkisini de tam olarak kavratmayı beklemiyorum “Tam olarak anlamadığım bir şeyi tam olarak anlatamam” . Asıl amacım ise bizim modern bilim olarak adlandırdığımız, ve bilim tarihçileri tarafından Galileo Galilei nin ilk kontrollü deneyi yapmasıyla yaklaşık olarak bundan 300 yıl önce başlamış olduğu kabul edilen, sürecin bizi ulaştırdığı noktanın doğa ile karşılaştırıldığında ne kadar ilkel ve basit olduğunu sizlere göstermek. Bunu yaparken de aklınızı biraz zorlamak ve bundan haz almanızı sağlamak. Umarım konuşmanın sonunda bu cümle ile ne demek istediğimi anlayan birkaç kişi çıkar.

Bu konuya hazırlanırken kullandığım kaynaklar Gödel’in öğrencilerinin tamamlanamazlık teoremi ile ilgili yazılarının derlenmiş olduğu Gödel’s theorem in focus adlı kitap ile beni, bilimin sınırları olabileceği fikriyle tanıştırıp bu konuda daha fazla araştırma yapmaya iten olan John Barrow’ un OLANAKSIZLIK isimli kitabı. Kitap sabancı yayınlarından çıkmıştır.

Arkadaşlar konuşmama başlamadan önce içinizde matematik veya felsefe bölümünden arkadaşlar olup olmadığını sormak istiyorum.

Güzel en azından tereciye tere satmış olmayacağım

Peki hala sanırım Gödel’in teoremine gelmeden önce sanırım matematik ve fizikteki olanaksızlık kavramını biraz açsak iyi olacak

Aranızda fizik ve/veya matematikte belirlenmesinin olanaksız olduğunu bildiğiniz kavramlara çözümlenmesi olanaksız olan problemlere veya aşılması olanaksız olan sınırlara örnek vermek isteyen arkadaşlar var mı? En azından bu kavramlar herhangi birinizde bir çağrışım yapıyor mu?

Peki hala size 5. dereceden daha büyük bir polinomun köklerini bulmanın imkansız olduğunu söylesem. Dikkat edin bulmanın yolunu bilmiyoruz demiyorum; Abel ve Galois adlı iki matematikçinin ifade ettiği gibi, bulmanın hiçbir yolu olmadığını söylüyorum.

“It was proved by Abel and Galois using group theory that general equations of fifth and higher order cannot be solved rationally with finite root extractions (Abel's impossibility theorem).”
http://mathworld.wolfram.com/Polynomial.html

Şimdide fizikten iki örnek Albert Einstain’in görecelik kuramına göre ışık hızından daha hızlı gitmek olanaksızdır (Olanaksızlık s.f. 38)

Kuantum mekaniği de bize kusursuz enstrümanlarla bile, bir cismin aynı andaki konumunu ve hızını, doğanın bir değişmezi olan Plank sabiti ile tanımlanmış bir kritik sınırdan daha iyi bir hassasiyetle ölçmenin olanaksız olduğunu söyler. (Olanaksızlık s.f. 35)


Az önce belirttiğim örneklerde olan şey doğanın formülleri yalanlaması demek değildir. Formüllere aykırı düşen bir şeyin görülmesi demek de değildir. Bu çok daha sıra dışı bir şeydir. Formüller bir çeşit iç savaşın kurbanıdırlar: Öngöremeyecekleri şeyler olduğunu, gerçekleşemeyecek gözlemler olduğunu, doğru yada yanlış olduğunu saplayamayacakları önermeler olduğunu öngörürler.Teori kapsadığı alan tarafından sınırlanmamıştır , teorin kendi kendini sınırlamıştır.Teori bir iç tutarsızlık yada dünyada gördüğümüz bir şeyi açıklamada yetersiz olduğu yolunda hiçbir açık vermeden bir olanaksızlık işareti verir;
Bu işaretlerin ise bizlere bilginin doğası ve evreni kendi içinden araştırmanın sonuçları hakkında anlattığı derin bir şeyler vardır.

Sanırım olanaksızlık kavramı hakkında biraz fikriniz oluşmaya başladı.

Bu noktada sanırım Gödel’in teoreminin ne olduğundan kısaca bahsetmemiz gerekir

Bu teorem kısaca kullandığımız mantıksal bir sitemdeki ifadelerin doğru yada yanlış olduğunu saplayabilme ile, kullandığımız mantıksal düşünce sisteminin kendi içindeki tutarlılığını saplayabilme arasında bir seçim yapmamız gerektiğin, söyler.
Gödel teoremi şunu göstermiştir; bir formal sistem eğer
1.sonlu olarak tanımlanmış ise
2. aritmetiği içerecek ölçüde geniş ise
3. tutarlı ise
içerisinde enaz bir tane doğruğu hakkında fikir yürütemeyeceği önerme vardır.
Bu önermeye ön kabuller ile başlayıp mantıksal bir dizge kurarak ulaşamayacağımız gibi bu önermenin ön kabullerle çeliştiğini de gösteremeyiz.
Yani çok kabaca bir örnek vermek gerekirse bir odaya kapatılmış ve dışarı ile ilişkisi tamamen kesilmiş bir insan o odada geçerli olan kuralları bulmak istediğinde doğru olduğunu gözlemlediği ama bunu kanıtlayamadığı en az bir durumla karşılaşır.
http://www.yourencyclopedia.net/Godels_Incompleteness_Theorem.html
http://en.wikipedia.org/wiki/G%F6del's_incompleteness_theorem
Gödels theorem in focus sf 48-49

Artık bir ölçüde Gödel’in teoremi hakkında fikrimiz oldu. Şimdi sırada bu teorinin mantıksal gelişim süreci ile ilgili bir şeyler söylesek iyi olur


Bu noktada konu biraz yolundan sapacak ve ikiye ayrılacak öncelikle matematik ve mantığın doğayı anlamamızdaki yerini ifade edecegiz. Bundan sonra, paradoks kavramını irdelememiz gerekecek

Doğayı anlamak için kullandığımız pozitif bilimler olarak adlandırılan bilimler Fizik Kimya ve Biyoloji doğada karşılaşılan olaylar arasında temel ilişkiler arar ve bütün karmaşık olayları birkaç sınıf altında toplayıp bu olayları sonlu kurallar dizileriyle ifade etmeye çalışırlar. Bu bilimlerin kendi aralarındaki ilişkileri şu şekilde ifade edilebilir. Bütün biyolojik olayların temelinde kimyasal süreçler vardır. Kimya ise tamamen fizik yasalarına uyan atom ve moleküllerin birbirleri ile etkileşimlerini inceler. Fizik ise cisimlerin hareket ve davranışlarını belirleyen genel yasaları gözlem yoluyla bulup bunlardan mantıksal bir dizge içinde özel bir olayın sonuçlarını tahmin etmekte kullanır.
Mesela fizikçiler genel bir yasa olan yerçekimi yasasından ve Newton’un 3. kuralından başlayıp havaya atılan bir güllenin nasıl hareket edeceğini öngörürler.
Bunu genel geçer bir şekilde yapabilmek için ise fizikçiler yasalarını matematiksel formüller şeklinde ifade edip işlemleri yaparken denklemin içine olayların kendi özel sınırlarını belirleyen sayılar koyarlar.
Özetle fizikçiler yasalarını bulduktan sonra özel durumlarda sonuçları bulabilmek için matematiğe güvenirler.
Matematik ise temelde mantık yasalarına dayanır, hatta matematiğin mantığın bir alt kümesi olan analitik mantık olduğunu da söyleyebiliriz.
Mantık ise temelde kümeler teorisine dayanır. Bunu en kolay zeka bulmacası şeklinde olan mantık sorularını kümeler ile çözmeye çalışarak veya siyaset meydanı gibi programlarda konuşan tartışmacıların mantıksal tutarlılıklarını kümeler teorisi ile sınayarak yapabilirsiniz (Sonuçlar tam anlamıyla bir felakettir)
Buna iyi bir örnek olarak şu durumu düşünün siz birisine bütün hayvanlar dört ayaklıdır diyorsunuz ve o da size yani masa o zaman bir hayvan mı? Saçmalama diyor. Şimdi buradaki mantıksal hatayı düşünelim…
Bu olayı kümeler ile anlatmaya kalkarsak şunu görürüz ki iddayı dile getiren kişi evrensel kümenin içinde bir 4 ayaklılar kümesi olduğunu ve hayvanlar kümesinin ise bunun bir alt kümesi olduğunu ifade etmektedir. Bu durum ise 4 ayaklı olup hayvan olmayan şeylerin olamayacağı gibi bir sonuca yol açmaz. Ancak karşıdaki kişi ise olaya tamda bu noktadan yaklaşmaktadır ve dört ayaklı oldugu halde hayvan olmayan birşeyi örnekleyerek karşısındaklini çürütmeye çalışmaktadır ki çok saçmadır. Yapması gereken ise dört ayaklı olmayan bir hayvan göstermek olmalıydı.


Şimdi ise paradoks kavramından ve birkaç ünlü paradokstan söz edelim
Çeşitli kullanım anlamları içinde paradoks aslında doğru olan ama çelişkili görünen birşey; doğrulugu görünen ama çelişkili olan birşey; yada doğruluğu apaçık olan bir çıkış noktasından çelişkiye varılması olarak adlandırılabilir
Pazı paradokslar zararsız olmasına karşın pek çok paradoks bizim düşünce sistemimizdeki derin sorunların yansımalarıdır. Bunlar bizi aşikar olarak doğru kabul ettiğimiz inançlarımızda hiç kuşkulanmadığımız eksiklikler veya tutarsızlıklar aramaya zorlarlar.
Buna verecegimiz en güzel örnek sanırım zenon paradoksu olarak bilinen paradokstur. Bu paradoks şöyle ifade edilebilir. Bir ok yaydan çıktıktan sonra hedefe gitmek için önce gideceği yolun yarısını daha sonra kalan yolun yarısını daha sonrada kalan yolun yarısını gitmek zorundadir. Bu yolların hepsini geçmek için belirli bir zaman harcaması gerektiğiniş düşünürsek bu okun hedefine hiç ulaşmaması gerektiği sonucuna varırız ki, bu açık bir şekilde gerçekler ile çelişmektedir. Bu paradoksu çözebilmek için ise düşünce yapımızda bir sıçramaya ihtiyacımız vardır. Şöyle düşünelim; okun birinci yolu geçmesi için gereken zamana t1 ikinciyi geçmesi için gereken zamana t2 dersek elimizde sonsu tane t olur ancak hepinizin serilerde gördügü veya görecegi ğibi sonsuz tane sonlu sayını toplamı sonlu olabilir ki be calculusa temel oluşturan bakış açılarından biridir. Gördüğünüz gibi bir çelişkiyi inceleyerek oldukça temel bir konudaki bir gerçeği keşfettik

Hani biraz dağılacagız demiştim ya ama korkmayın hikayenin oldukça birleştirici etkileyici ve güzel bir sonu var

Yalnız önce bir özet, bilimlerin temelinde matematik matematiğin temelinde mantık vardır ve mantık da kümeler teorisiyle çalışır. Ve paradokslar bir yerde bir eksiklik veya yanlışlık olduğuna kanıt olmasalarda delalettirler.
Işte tamda bu noktada B. Russel kümeler teorisinde bir paradoks yazmayı başarmıştır.B. Russel bu paradoksu şu şekilde özetliyor

Kümeler temel olarak ikiye ayrılabilir kendi kendisini elemanı olan kümeler ve kendi kendisinin elemanı olmayan kümeler. Örneğin çay kaşıkları kümesi bir çay kaşığı değildir. Ama çay kaşığı olmayan şeyler kümesi çay kaşığı olmayan birşeydir. Bu beni kendinin elemanı olmayan bütün kümeleri düşünmeye yöneltti; çay kaşığı olmayan şeyler kümesi; ekmek olmayan şeyler kümesi kalem olmayan şeyler kümesi vs.. Bu kümelerin hepsi kendi kendinin elemanı olmayan şeyler kümesini oluşturur. Şimdi soru şu bu küme kendi kendisinin elemanı mıdır yoksa değilmidir
Eger kendi kendinin elemanı ise o kümeyi tanımlayan özellik olan kendi kendisinin elemanı olmama özelliğine sahip olması gerekir. Eger kendi kendinin elemanı değil ise kümenin tanım özelliğine sahiptir ve kendi kendisinin elemanıdır. Her iki durumda kendi karşıtı olan sonuca yol açmaktadır yanı bir çelişki vardır.
Ve eger kümeler teorisinde bir çelişki varsa oluşan sorun zinciri biyolojiye kadar gider.
Gödel'in teoremide tamda bu açıktan yola çıktı ve sınırlı sayıda ön kabul ile kurduğumuz (birincil dereceden) bir mantıksal sistemde doğruluğu veya yanışlığı hakkında fikir yürütemeyeceğimiz en az bir önerme vardır, sonucuna ulaştı.

Konunun Fizik üzerine etkileri burada anlatamayacağım ve uzun bir süre anlayamayacağım kadar karışık olsada özetle şu söylenebilir
Matematik ispatlanabilir olmayan ifadeler içerir; fizik matematiği temel alır. Bu nedenle fizik gerçek olan herşeyi kesfedemeyebilir.